M：下一次你去遊樂場，可別參加“碰運氣”遊戲！很多人去玩這種遊戲都上當了，因為他們以為他們不會失誤的。
M：“碰運氣”遊戲是在一個籠子裡裝著三個骰子，翻轉搖晃籠子就使骰子滾動。玩的人可以賭從1到6任何一個數，只要一個骰子出現他說的數時，他就得到他賭的錢數。參與者往往這樣想：如果這個籠子裡只有一個骰子，我賭的數就只能在六次中出現一次。如果有兩個骰子，則六次中就會出現兩次。有三個骰子時，六次中就會有三次贏，這是對等的賭博！
M：“可是，我的機會還要好一些！如果我賭一個數，比如5，賭一塊錢。要是有兩個骰子點數是5的話，我就贏兩塊錢；若是三個骰子都是5，我就贏3塊。這個遊戲肯定對我有利！”
M：由於主顧這樣想，難怪賭場操縱者會變成百萬富翁！你能說明為什麼“碰運氣”遊戲會使賭場主贏得大筆賭金嗎？
“碰運氣”是在美國和海外很多賭場中玩的賭戲。在英國，這種賭博可追溯到十九世紀初，當時稱為“汗巾”。近來稱為“鳥籠”。在英國和澳大利亞的酒館，這種賭博的三個骰子上印的是一個黑桃，一個方塊，一個紅心，一個梅花，—個王冠，一個錨，並稱為王冠和錨。
在遊樂場中，操縱者為招徠顧客而高聲叫道：“每次三個人贏，三個人輸！”這給人一個強烈印象，好像它是公平的。可是如果三個骰子每次顯出的數字都不相同，則這種賭戲確實是公正的。在每搖一次籠子之後，操縱者就可從三個輸家手中贏三塊錢（假定每次賭一塊錢），付給三個贏家三塊錢。可是，操縱者所幸的是，常常在兩個或三個骰子上顯出同樣的數。如果有兩個骰子是同一個數，那麼他收進四塊錢．付出三塊線，賺回一塊錢。如果有三個骰子是同樣的數，則他就收進五塊錢，付出三塊錢，賺回兩塊錢。正是這些雙重數和三重數使賭場老闆賺了大錢。
用公式來計算賭場主贏的比例是件需要技巧的工作。普通的學生最好是把三個骰子落下的全部216種可能情況全部列出。這時，他們會發現其中只有120種情況是三個骰子的點數不同，90種是兩個點數一樣，6種是三個點數都一樣[*]。假定這個賭戲玩了216次，產生了所有216種結果。每一次遊戲，六個人對六個不同的數各賭一塊錢。賭場主在216次賭博中收集到216*6＝1296塊錢[†]。
當三個骰子點數不同時，他得付出6塊錢（三個贏家每人兩塊錢），總共120個這種情況，故他付出6*120=720塊錢。當出現兩個骰子的點數相同時（總共有90種情況），他須付給一個點數的人2* 90=180塊錢。付給有兩個一樣的點數的人3*90=270塊錢。當三個骰子都是一個點數時（共六種情況），他須付出6*4=24塊錢。這樣，他總共付出1194塊錢，淨賺102元。
將102元除以1266元，得出賭場主的利率為7.8+%。這就意味著，他可以期望在一段長時間賭博之後，對每一賭徒的1塊錢賭金，他將會得到7.8分多一點。一個賭徒壓賭的任何一個數，在216種情況中，只有91種情況是他這個數至少出現一次[‡]，所以他贏得一塊錢的概率是91/216，比1/2小得多。
[*] 這個結果可以用排列組合公式來計算，三個骰子點數不同，可看作三個骰子分別取1到6六個數字的排列：A63=6*5*4＝120。三個骰子中兩個點數一樣，可看作三個骰子取1到6中的兩個數字的排列，兩點數為單的骰子可輪流取為三骰子中的一個，共三種，故這個數目是3*A62=3*6*5=90。三個骰子點數全同只有1到6六種，總共是216種情況。另外一個算法是：三個骰子每個可以取1到6六個數的組合是6*6*6=216——譯註
[†] 玩賭時，聚賭者每人拿出一塊錢。他若贏，就拿回兩塊錢，他若輸，就失去這塊錢。——譯註
[‡] 這可以計算如下：當他選中一個數時，有三種贏的情況：第一，三個骰子都是他選的數，此時只有一種可能。第二，三個中有兩個骰子是他選的數，此時另一個骰子取其他五個數中任何一個，而單獨數的那個骰子三個輪流有三種，故數目是3*5=15 。第三，只有一個骰子是他要的數，此肘其他兩個骰子可以是其餘5個數中任何一個為5*5=25個．但三個骰子每一個都可取他要的數，故總共是3*25=75種。上述三種情況共75+15+1＝91種。——譯註
