再看F(N)。大家注意題目中的“至少”二字，也就是說2個以上骰子的情形時，我們會計入出現1個到N個的同樣骰子的概率（比如一共3個骰子，需要擲出至少1個六，我們會把出現1個六、2個六和3個六的情況都計算在內）。本題的解算方法很多，這裡介紹簡單的一個：先計算本題的否命題，即只出現其他5個數字的所有可能情況數，很簡單，是5^(N)。所以用總排列組合數減之即得F(N)=6^(N)-5^(N)。（參見附表一第三列）
所以概率P(N)=F(N)/G(N)=[6^(N)-5^(N)]/[6^N]=1-(5/6)^(N)，表一的第四列即列出1個到5個骰子時我們所需要的概率值。
②N個骰子中，至少含有某2個指定數字中的1個
本題的意思是：骰子扔出前玩家先確定兩個數字（當然是1到6中的倆個），然後搖骰開盅，裡面的骰子中至少有一個骰子點數等於事先確定的兩個數字中的一個。本題中，總排列組合數G2(N)仍為6^N；而F2(N)的計算方法同樣可參照上題中先計算否命題的方法，這次有F2(N)=6^(N )-4^(N)。概率P2(N)=F2(N)/G2(N)=[6^(N)-4^(N)]/[6^N]=1-(2/3)^(N)。具體不同個數骰子時的概率值參見附表二第四列。
有同學會問，若把本題擴展到“至少含有某2個指定數字中的2個”的情況時概率會怎樣呢？即玩家仍先確定兩個數字，然後求結果中至少有2個骰子的點數等於該兩個數字中的一個的概率。如我們先定下了1和2這兩個數字，那麼2個骰子中，出現1-1、1-2、2-1、2-2時即符合題意。這個引申題目的計算稍微複雜些，具體結果參見附表二的第五、六列。
③至少有2個骰子點數一樣
通俗地說，就是一把骰子裡出現至少有一對骰子點數一樣的概率。注意它的表述，“至少有一對”就是說隨便是什麼數字對都可以，對1、對2、對3、對4……都行，而不是“指定的某數字對”（如我們指定一定是對2出現）的概率，其實細心的同學可以發現，後者其實是前者概率的1/6。我們同樣運用否命題法，細看可知其為“所有骰子裡沒有任意2個點數是相同的（即全是所謂散牌）”。這下好算了：F3否(N)=6!/[(6-N)!]（!為自然數從自己逐次遞減1連乘最後到1的表示符號，如6!=6*5*4 *3*2*1，2!=2*1），G3否(N)依然=6^N，所以P3否={6!/[(6-N)!]}/(6^N)。而用100%減去P3否，可得本題所求的概率：P3(N)=1-{6!/[(6-N)!]}/(6^N)。借用本題的結果，可以得到“至少有2個骰子的點數是指定的某數”的概率：P3(N)除以6即得。（參見附表三）
④至少有3個骰子點數一樣
計算方法為6*[C(5,3)*(5^2)+C(5,4)*(5^1)+C(5,5)]，結果見附表四。
（注：C(n,m)=n!/m!(nm)!，其中n>=m）
⑤骰子擲出後，所有骰子點數之和的分佈情況
參見附表五。具體算法俺就略過了，有興趣的同學可以自己研究一下。
骰子的概率(3)
⑴吹牛
前面說過，吹牛是個技巧性極高的遊戲，其輸贏取決於兩個部分：一是自己骰子擲出後的點數情況，這是不可控的，本文並不是講如何出老千的；二是玩家的能力和經驗，如前述，這是要練的。形像地說，前者就是硬件，後者是軟件，和打撲克牌一樣，軟能力的重要程度要大過骰子的隨機分佈。因你不可能盤盤都是好牌，而且即使是好牌，被對手看穿了一路牽著鼻子叫的話一樣會輸，老練的大話骰王通常能把骰子的點數分佈情況對自己的影響降到最小，而只在雙方水平差不多的情況下輸贏和骰形關係比較大。而概率在這裡的作用，是幫助玩家盡量把不可控的骰子分佈看出一定的規律來，從而盡快培養出吹牛的軟能力和經驗。
常規的吹牛遊戲規則中，要求玩家在單骰（即5粒骰子裡沒有任何重複的點數）的情況下必須重搖。該規則的直接結果是：每個人都必然有至少一對骰子點數一樣。這是個很重要的信息，雖然我們暫時還不知道對方的對子是什麼點數。再來看餘下的三個骰子，絕大多數吹牛規則裡，允許1點在未被玩家叫過的情況下變為任意點數，所以我們這裡暫且假設對方那一對不是兩個1點（而是2到6中的一對），那剩下三個骰子裡如果再有一個該點數的骰子或者1點的話，對方就有至少3個骰子點數一樣了，這種情況可能性有多少呢？翻開上面的概率附表對照一下，恰符合情形②的描述，故根據附表二的第四行第六列可知：這個概率高達70.37%！即使我們不做前面的假設（沒有對1點），仍因1點可以變做任意點數，故而概率也是同樣的。這就是說，對方手中有三個點數一樣骰子（包括1點）的概率超過了2/3！
這時候我們便可有針對性地叫牌了，但此時，我們並不知道對方那三個一樣的骰子到底是多少點，這就要通過相互叫牌中摸出對方的底細，有經驗的老手常常能夠設計將對方套出來。當然叫牌時不能亂叫，要根據我們的底牌來叫。所以有時我們手上有某些點數的骰子比較多時，對方手裡可能會有幾個呢？首先不忙著計算，我們先來歸結一下這個問題的表述：即我們已經知道了自己手上的某點數，要猜對方手裡有多少個該點數；由於1點可以萬變，也就是求對方手裡有1點和某個點數的概率。讀者馬上可以想到，這也屬於前面情形②的範圍，附表二中第六行告訴我們：對方至少有1個骰子和我們一樣的概率是86.83%，至少有2個的概率是53.91%，均超過了五成。
從以上兩段分析我們可以知道：對方至少有“三條”的概率達到了七成，雖然我們不知道是什麼樣的三條；而和我們手上某點數相同的骰子個數為1個可能在8.5成以上，2個的可能也超過一半。所以，在相互叫牌時，如果確認自己數量較多的點數和對方的不一樣（比如自己六點多，對方估計是四點多），叫的時候盡量叫住“自己數量+2”（點數是自己數量較多時）和“自己數量+3”（點數是對方數量較多時）的關口。這也是常見的叫法。
關於吹牛，由於具體實戰的形勢千變萬化，我們這裡只能簡單計算了兩個常見的情況。其實在其他場景下，概率分析仍有其應用空間，比如低骰的吹牛遊戲（即每人只有1到2粒骰子）時的計算，大家可以自己想想並在實戰中運用。大家牢記，概率只提供了一個參考依據，吹牛，關鍵還是多練習的。
⑵大小
在“大小”的幾種玩法，“比大小”是完全隨機的遊戲，無甚概率計算可言，而在“押大小”和“猜大小”中，就略有可用之處。
“押大小”的常見規則是莊家搖骰（通常是2粒骰子），骰子點數之和為最大值半數以上者為大，反之為小，對家押大或小，開盅後押對則贏。大家仔細再重讀幾次規則，是否覺得有漏洞？對了，本遊戲乍一看似乎很公平，但細心的同學可以發現，按照規則的話，大和小的比率並非一樣。2粒骰子之和的最大值是6+6=12，半數就是6，但大過6與小於等於6的骰子之和的概率並不一樣。大家打開中篇裡的附表五，看2粒骰子的那兩列，馬上可以看到，大於6的概率是58.33%（把7到12的概率值相加起來而得），小於等於6的概率只有41.67%，二者完全不一樣。同樣的問題存在於3粒或是更多粒骰子的時候，如3粒和4粒骰子的點數總和的最大值的一半分別為9和12，但它們大於9和12的概率分別是62.50%和66.44%，根本不是50%。因此很明顯，本遊戲的規則設置有問題。其實，遊戲不應該以點數和的最大值半數為分界線，而應該以最大值與最小值的平均數為中線。大家再看看附表五，可以發現2、3、4、5粒骰子時的點數之和的最大概率值分別出現在7、10&11、14、17&18上，恰是點數之和的最大值與最小值平均數：7、10.5、14、17.5。另外，通常酒吧遊戲里通常只用2粒骰子，我們查附表五時發現，骰子點數之和分別為2到12共11個數字，無法分成均勻的整數的兩半。而只有當骰子總個數是奇數粒骰子時，它們的點數之和的個數才是偶數個，能夠均分兩半。所以常見的酒吧里的“押大小”遊戲的規則都是錯誤的，正確的玩法應該是3粒骰子，10及以下為小，11及以上為大。我後來查了澳門賭場的押大小玩法，果是3粒骰子，11、10點為大小分界的。這樣才真正公平，當然要是除了你別人都沒想到這個小秘密的話，你也可以不點破，在錯誤的規則下每次均押大即可，贏的概率會高很多，嘿嘿……
在“猜大小”遊戲中，只用到兩粒骰子，所以大家仍然打開中篇中的附表五，同樣看2粒骰子那兩列。當自己搖出一個較小或較大的點數（之和）時，比如2、3、4、10、11、12等，可以查表看看別人不大於或不小於你的概率。例如自己不幸是3，莊家的規則又是最小點數的人喝，那麼和自己點數一樣或小於自己的可能性是(1+2)/36=8.33%。知道了這個概率，那麼你再決定是喝半杯改規則，還是忍耐下去等那8.33%的人出頭，或最終無人出頭大家攤牌聽天決定。
⑶梭哈
梭哈中的概率，大家一般馬上想到的是算對子、葫蘆、炸彈之類的出現概率有多少。但其實這並不重要，因第一輪開牌以後，允許最小的人取若干骰子後重搖，與倒數第二小的人再比一次。所以，選取多少粒骰子重搖而能大過對方才是最重要的。以下列出了常用的幾個原則並附上戰例。
1) 三個骰子博1個數字好過一個骰子博2個數字
根據中篇中的附表一、附表二可知，前者的機率為41.13%，後者則為33.33%，所以顯然要取前者。譬如，你有一對3、一對6和一個2，對方有三個3、一個1和一個5。對方比我方大，這時我們是取2重搖來博3和6得一個葫蘆，還是取對3和2來博6得到三個6呢？根據前面的分析，雖然取2博3、6得到葫蘆牌型比較大，但概率僅有1/3，而取三粒骰子博6的概率則大過4成，反正如果對方再搖大過以後，我們還有機會。所以，本戰例中應取對3和2三粒骰子來重搖。
2) 三個骰子博2個數字遠遠好於三個骰子博1個數字
後者的概率為41.13%，過4成；而前者卻高達70.37%，更加好。試舉戰例如：對方有1、2、3、對5，我方則是1、2、6、對3。初習者也許馬上會想到用1、2、6來博3以取得三個3，但還有更好的選擇嗎？看看牌，對方的對5在對子裡並不是最大的，對1和對6均比它大。1和6？我們手裡的骰子正好有啊！而且還剩下多達三粒骰子，概率多達7成啊。所以，正確的選擇應該是：取2和對3來重搖博1、6。
3) 兩個骰子博2個數字也好於三個骰子博1個數字
前者的概率為55.56%（查表二），確實也好於後者的41.13%。我們來看實戰：對方是對1、對2、和5，我方還是只有1、2、6、對3。我們沒有辦法運用例2中的方法，因為對方有兩對，而且還有一對1。難道我們只能搖三顆博3？再看看，對手的對2很小嘛，而我們也有1哦。好了沒錯，我們可以留下1和對3，取2、6兩個骰子來博1或3。如果得1，我們則有對1和對3，比對方的對1和對2大；如果得3，那我們就有三個3了，也比對手大。而根據前述概率，這個機率超過一半，有55.56%啊！
從以上例子可以看出，實戰中是千變萬化的，大家要靈活運用中篇附表中的概率來具體判斷。
⑷拔毛
“拔毛”是個全看手氣的遊戲，概率並不能幫助什麼，但可以解答一下游戲中出現的現象。不知玩過的同學有否發現，1粒骰子時因為機率是1/6故而比較難以叫中，但有時就那麼2、3粒骰子時，但要叫中其中的點數卻非常困難。大家翻開中篇中的附表一，立刻可以發現2粒骰子時要叫中某個點數的概率是30.56%，即使3粒骰子時也只有42.13%，4成多一點。半數都不到，當然叫不中就很正常了，想過半數要增加到4粒骰子才行（51.77%）。而且，由於每次搖骰的初始狀態都是一樣的，所以每次搖出的概率也是一樣的，下次的結果並不受上次結果的影響。有些同學以為比如概率是1/3時，如果前2次都不中，那麼第3次就一定中，這是完全錯誤的。
⑸伍拾壹佰
在本遊戲中，概率介入判斷是在最後只剩幾粒骰子的時候。這時候，是繼續搖，弄他多一兩個5點和1點，還是該求穩收手呢？通常酒吧里，大家一般在僅剩3粒時停下不再繼續了。同學們看看中篇中的附表，可知其實就是附表二的第三、四列描述的情形：在若干粒骰子中，至少含有5點和1點中的一個的概率。據之，我們發現，只有2粒骰子時，這個概率是55.56%，超過一半了；而3粒的時候，竟然有70.37%，高達7成啊。所以，當自己的總點數不高時，3粒甚至2粒骰子的情況完全可以一博，倒霉的機會只有不到一半哦。
⑹搖骰
有些同學可能記不清遊戲規則了，這裡重寫一下：兩粒骰子公用，搖前莊家先訂下某種規則，如點數相加之和是某數的、或最大的、或最小的，兩個一樣的，至少含某數的，見紅的…；然後每人輪流搖骰，所有人搖完後，恰符合莊家規則者（包括莊家）輸，喝酒，若無人符合莊家規則，則莊家輸。本遊戲對莊家是個考驗，因制訂的規則若不能使玩家符合而中招的話，莊家自己就要喝酒了。所以如何制訂這些規則呢？我們來分析下這些規則下可能中招的概率：
◆相加之和是某數：看附表五，2粒骰子點數之和是7的概率最高，為16.67%，即1/6，叫其他數字如8、9等均無7高；
◆相加之和最大或最小的：這個無所謂概率，聽天由命吧；
◆ 2個骰子點數一樣：乍一看這個情況出現的機率似乎不高，但翻開附表三，到第三行的第五、六列，這個機率同樣也有16.67%；
◆ 2個骰子中至少有一個的點數是1-6中的某個數字：這個概率前面算過，結果在附表一的第三行：30.56%，很高啊；
◆ 2個骰子中至少有一個顏色是紅的：上篇中說過，中國的骰子一般把1點和4點漆成紅色，所以本規則也就是要2個骰子裡出現1點或4點，查附表二的第三行第三、四列，乖乖，這個概率高達55.56%啊，kao，超過一半了！
由上可見，所謂的“見紅”規則是最具殺傷力的，建議同學們玩時先用幾次，等其他人想用時則藉口此時發現概率太高而禁用，嘿嘿……
⑺三公
“三公”是運氣成分百分百的遊戲。不過運用中篇裡的附表五，我們可以知道所有尾數出現的概率：0(即10): 12.75%，1(即11): 12.75%，2(即12): 11.57%，3(即3和13): 10.19%，4(即4和14): 8.33%，5(即5和15): 7.41%，6(即6和16): 7.41%，7(即7和17): 8.33% ，8(即8和18): 10.19%，9: 11.57%。小點數（0、1、2、3）的概率要大於大點數（7、8、9）的，而中間的點數（4、5、6）出現的機率最小。
⑻牛牛
“牛牛”亦是搖完就開盅相互比較的遊戲，沒有概率參與判斷的機會。
⑼七八九
上篇中介紹“七八九”遊戲時就說過，本遊戲的結果也是純看運氣的。我們可以做的是和“三公”一樣，算算這三個點數出現的機率：7: 16.67%，8: 13.89%，9: 11.11%。需要喝酒的概率（8和9）是13.89%+11.11%=25%，恰為1/4。
⑽二十一點
“二十一點”中，雖然是由自己決定是否繼續要骰子，但每次莊家都只發一個骰子，1點到6點的概率都是1/6，無甚特別。
⑾數數
“數數”遊戲裡，比較關鍵的是如何判斷莊家的點數。根據中篇的附表五，我們可以知道越靠近中位數的數字，出現的概率越高。4粒骰子時是14，5粒骰子是17、18，而靠近他們的12-13、15-16（4粒骰子），15-16、19-20（5粒骰子）的概率僅稍次之。大家碰上這些數字時當心便是，不過這些概率只提供了一個參考，具體的情形常常很難說。
⑿三五七
這個遊戲與技巧有關，和概率無關。為阿卜杜拉之絕技，因阿卜杜拉還要以此混飯騙mm用，故這裡就不作介紹了。大家想知道的話，請酒或介紹mm先
OK，以上基本把所有的骰子遊戲都分析了一遍。對於概率的運用，大家要記住以下幾點：
◆之前也說過多次了，概率分析僅提供了一個判斷的參考依據，因概率數值的統計意義是在投擲次數足夠多（例如數十萬次、數百萬次）的前提下得到的，實戰時不排除你會很背的時候。
◆概率分析運用的地方很多，我上面肯定還有沒兼顧到的地方，大家一定要多想多練。
◆亦是前面說過的，每次擲骰子時，某種結果的概率都是一樣的，不會因為你前面仍不出這個結果而有所改變；千萬不要抱著前幾次總不行，這次肯定行的心態。
◆對吹牛、數數之類的遊戲來說，多練習才是應有之道。
◆一種玩法下老輸的話，趕緊換一種玩法，而且盡量換以上所提到的全靠運氣的玩法，這是經驗。
◆什麼遊戲都很背的情況下，趕緊買單回家，別痴心妄想mm了，今晚不屬於你。
