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凱利公式

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凱利公式
凱利公式是一條可應用在投資資金和賭注的公式。
應用於多次的隨機賭博遊戲,資金的期望增長率最高,
且永遠不會導致完全損失所有資金的後果。
它假設賭博可無限次進行,而且沒有下注上下限。

  • f* = 現有資金應進行下次投注的比例
  • b = 賠率
  • p = 勝利機會
  • q = 輸的機會 (一般等於 1-p )

例如若一個遊戲有40%(p=0.40)機會勝出,賠率為2:1(b=2),
這個賭客便應每次投注(2 × 0.40 – 0.60)/2 = 10%的資金。

這條公式是克勞德·艾爾伍德·香農在貝爾實驗室的同事物理學家約翰·拉里·凱利在1956年提出的。
凱利的方法參考了香農關於長途電話線的嘈音的工作。
凱利說明香農的信息論可應用於此:

他在研究如何在不可預測的雜訊干擾下,產生最大的傳輸速率,
而電子訊號傳輸受雜訊干擾的機率,就像賭博中的不確定性一樣,
連續的電子訊號傳輸就像不斷的連續的牌局一樣,成功的傳輸訊號就像賭博贏了,
傳輸訊號因雜訊干擾而失敗就像賭博輸了,如何產生最大的傳輸速率,
就像在賭場中連續賭錢希望贏得最多錢的心理一樣。
而凱利方程式可以幫助工程師決定每次電子訊號的長度,以便獲得最大的傳輸速率;
也可以幫助賭徒決定每次下注的賭注大小,
以便贏得最多的金錢離開賭場。

賭徒不必要獲得完全的資訊。
香農的另一位同事Edward O. Thorp應用這條公式在廿一點和股票市場上。

1738年丹尼·伯努利曾提出等價的觀點,可是伯努利的文章直到1954年才首次譯成英語。
不過對於只投資一次的人來說,應選擇算術平均最高的投資組合。

基本上凱利公式

K=P+(1-P)/R

K = 獲得最大的報酬率
P = 勝率
R = 平均獲利/平均虧損

舉例來說,若某個賭局,
獲勝的機率為50%,獲勝時能得到賭金的1.1倍,
輸時則損失賭金,則P=50%,
利潤對損失的比率R=1.1/1=1.1,
則每次的賭注應該下所有賭金的 K = 0.5 – (1-0.5)/1.1 = 4.5%,
只要連續參加賭局,且機率不變,則可以獲得最大的報酬率。

另一種凱利公式

F=[(R+1)*P-1]/R

F = 最佳投入資金比例
P = 勝率
R = 平均獲利/平均虧損

依個人歷史績效,計算所能成受的風險比例,
經凱利公式可了解,應以多少比例當作單次可成受風險的資本,
交易三要素:勝率.平均單筆獲利.平均單筆虧損
例如:賭局平均勝算40%,40次贏60次輸,
每次贏可獲得賭金的2倍200元,輸則虧損賭金100元.

則    P=0.4    R=200/100=2

F=[(2+1)*0.4-1]/2=0.1=10%

也就只能用總資本的10%作為單次可成受的風險.

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